计算几何中两个重要问题研究

Piecewise algebraic varieties, as common zero sets of multivariate spline functions , is a generalization, enrich and develop of the classical algebraic variety. It not only raleted to many practical problems such as multi-spline interpolation, smooth algebraic varieties stitching, CAD and CAGD, but also provides theoretical basis for the study of classical algebraic geometry. Studies have shown that found out the geometric properties of piecewise algebraic variety is the key to dealing with multivariate spline interpolation problems. So, Research on piecewise algebraic variety has important theoretical and practical value. This project will thoroughly study the theory and calculation method of Bezout theorem on piecewise algebraic curves, which is the promotion of classical algebraic geometry to piecewise algebraic curve theory, This is the prerequisites to promote other important theories in classical algebraic geometry to piecewise algebraic curves. Another issue of this project is to extend the theorem for determining the number of real roots of polynomial equations(BKK theorem, also known as Bernstein theorem) to determine the number of real roots of piecewise polynomial equations. The outcome will play an important theoretical significance for the application of real algebraic theory in piecewise theory.

分片代数簇作为多元样条函数组公共零点的集合, 是经典代数簇的推广、丰富和发展. 它不仅和许多实际问题如多元样条插值、代数簇的光滑拼接、CAD 和CAGD 等有关, 而且还为研究经典代数几何提供理论依据. 研究表明搞清分片代数簇的几何性质是处理多元样条插值问题的关键。因此, 研究分片代数簇具有重要的理论与实用价值. 本项目要深入研究分片代数曲线的Bezout定理的计算理论与方法，这是经典代数几何开卷定理（Bezout定理）在分片代数曲线理论中的推广，是经典代数几何中很多其他重要理论往分片代数曲线理论上的推广和应用的先决条件。本项目要研究的另一个是问题是将判断多项式方程组实根个数的重要定理（BKK定理，也叫Bernstein定理）推广应用到分片多项式方程组的实根个数判断中，国内外文献尚未发现该课题的同类研究，该成果将对实代数理论在分片理论中的推广和应用起到重要的理论指导意义。

分片代数簇作为多元样条函数组公共零点的集合, 是经典代数簇的推广、丰富和发展. 它 不仅和许多实际问题如多元样条插值、代数簇的光滑拼接、CAD 和CAGD 等有关, 而且还为研 究经典代数几何提供理论依据. 研究表明搞清分片代数簇的几何性质是处理多元样条插值问题 的关键。因此, 研究分片代数簇具有重要的理论与实用价值. 本项目要深入研究分片代数曲线的Bezout定理的计算理论与方法，这是经典代数几何开卷定理（Bezout定理）在分片代数曲线 理论中的推广，是经典代数几何中很多其他重要理论往分片代数曲线理论上的推广和应用的先决条件。在国家基金委的资助下，课题组在该问题上面做了大量的研究工作，我们得到如下结论：.1.把三角剖分看作一个图，利用图论中的结论特别是四色定理，证明了任何一个无桥三正则平面图必有3个互不相交的完美匹配。并由此进一步分析得到结论：.在任意的球面三角剖分 上存在一个全由偶圈构成的 分片代数曲线。.此结论提供了研究Bezout数问题的一个新的可能途径。可以尝试借助全是偶圈的 分片代数曲线把三角剖分的奇网点划分到各个偶圈中，然后再构造一条 分片代数曲线与它在包含及奇数网点的偶圈上的交单个数恰好由两个奇网点的距离决定， .2. 我们尝试了结合几何性质，利用组合优化方法研究两个分片代数曲线的Bezout数问题的新思路。该思路需要在一个明显的假设前提下进行，理论上可以到一个组合优化形式的结论。但是事实上，有特例的存在，表明这条思路不可行。.该课题的后续研究的重点应该从寻找新的可能的研究工具和研究思路开始。后续研究者应该重新考虑和规避这些问题。.3. 给出了二元解析函数的{[m,n],s}级代数函数逼近式的一般定义和规范代数函数逼近式的算法以及这种逼近式唯一存在的充要条件。此结论帮助我们开启后续更重要的研究工作。