CT图像重建中的分裂可行问题及其扩展形式的优化算法研究与实现

Recently, with the development of computer, a number of new algorithms and ideas appear from the field of image restoration, and some new opportunities are provided to improve the quality of CT image. Based on the new discrete models of image reconstruction of fan-beam, combined with the Shepp-Logan model and through simulations, the image reconstruction problem is transformed into the split feasibility problem. We show the projection matrix block which depend on the ray, the projection angle and between, respectively, and establish different definitions with nonempty convex sets C and Q by its own different physical means. The new optimization algorithms of split feasibility problem are proposed. We analyse the convergence rate and reconstruction precision with different cases, and obtain the difference of the algorithms in the different definitions with nonempty convex sets, then the best cases of different definitions with nonempty convex sets applied on image reconstruction is obtained. Based on the best cases, we propose the new optimization algorithms of the multiple-sets split feasibility problem and analyse the convergence of the algorithms. Considering the choose of the initial value, the constrained weights and the step of the algorithm, we get the best case of proposed algorithm. Finally, we present the simultaneous iterative method and alternating iterative method of general split equality problem and proximal point algorithms of its regularization problem, and then study the convergent rate and the convergence of the algorithms.

随着计算机技术的发展，图像去噪和恢复领域出现了很多新算法和新思想，这也为从算法方面改善CT图像质量提供了新的契机。本项目拟在扇束扫描模式下的图像新离散化模型的基础上，以 Sheep-Logan头骨模型为试验客体，将重建问题转化成分裂可行性问题；分别按每条射线、投影角度及同时结合射线和投影角度这三方面对投影矩阵进行分块，并通过不同的物理意义对非空闭凸集C和Q进行设定；构造分裂可行性问题的优化算法，分析收敛性；通过对重建精度和收敛速度进行对比分析，判断在不同非空闭凸集定义下的算法优劣性，得出算法应用在图像重建问题中的最佳凸集定义方案；在最佳凸集基础上，构造多重集合分可行性问题的优化算法，分析收敛性；考虑初值选择、约束权因子和步长的选取对实验结果的影响，给出算法的最佳实现方案；最后考虑在Hilbert空间中广义分裂等式问题的若干交替和平行算法及正则性问题的近似点算法，分析其收敛性和收敛速度。

分裂可行性问题是一类比较常见的优化问题，在生物学、医学、军事、图像恢复等领域有着重要的运用。本项目对CT图像重建过程中出现的分裂可行问题以及扩展形式的优化算法进行了深入研究，取得了系列成果。对分裂变分包含问题，我们提出了一种共轭梯度算法。通过应用平均算子技术，避免梯度投影方法中梯度投影算子的非扩张性。把共轭梯度方法和平均算子相结合提出新的粘弹性最速下降方法。对分裂变分包含问题和非扩张半群的不动点问题提出了一种与算子范数先验知识无关的优化算法。优化算法中迭代步长的选择与算子范数先验知识无关，且该步长是有界的。对分裂变分包含问题我们还提出了一种粘性加速优化算法。通过对最速下降算法使用预解算子，这样保证了该算法加速强收敛到分裂变分包含问题的解。对分裂等式问题来说，通过引入T算子的定义，建立了一种与算子范数先验知识无关的并行算法。在最优凸集的基础上证明了该算法的收敛性。对混合分裂等式问题，在 p一致凸和一致光滑的Banach空间上提出一种并行的Bregman投影方法来求解混合分裂等式问题的解与左Bregman强非扩张算子不动点集合的公共解。该算法把现有的算法归结到分裂可行问题统一的算法框架中去，进一步丰富分裂可行问题算法体系。对渐进半压缩的分裂等式不动点问题，我们提出了一种阻尼正则化方法，该方法是与算子范数先验知识无关的并行算法。对具有特殊结构的分裂等式问题提出了两种松弛惯性加速方法。用超平面为边界所形成的半空间来代替闭凸集 ，且步长的选择与当前的迭代信息有关，而与算子范数先验知识无关。一类增广的分裂等式不动点问题被提出，主要特点是把约束条件限制在半空间上。借助于拟伪压缩算子的线性组合构造出新的非扩张算子，对该分裂等式不动点问题提出并行的优化方法。我们对所设计的算法都进行了理论分析,并就医学成像中的一些实际问题进行了数值仿真,效果良好。