非线性常微分方程不定权问题研究

非线性问题研究中经常遇到的拓扑度、环绕数、Morse指标、旋转数等重要指标的计算均同"与之相对应的线性问题的特征值"密切相关。众所周知,权函数定号的线性常微分算子的谱理论已经取得许多重要而深刻的结果,并被广泛地运用到许多非线性问题的研究中。然而,不定权特征值问题的谱理论发展相对迟缓,而高阶线性不定权特征值问题的谱结构还处于探索阶段。因此，本项目试图运用Krein空间的线性算子理论、分歧理论以及变分原理等工具,较为系统地研究由多种边界条件所确定的高阶线性不定权微分算子的谱结构以及相应非线性问题解的存在性、唯一性、多解性以及解集分支的全局结构。本项目的理论结果对于弹性稳定性理论、人口遗传学中提出的诸多模型的理论分析和数值计算具有重要意义。

本项目主要研究由多种边界条件所确定的高阶线性不定权特征值问题的谱结构；在此基础上研究相应非线性问题解集连通分支的全局结构。具体工作包括：1、首次完整建立了四阶线性不定权特征值问题的谱结构定理；2、运用分歧理论等工具系统研究了相应非线性问题结点解集的全局结构；3、运用横截性定理等工具建立了一类高阶系统解集结构的通有性结果；4、获得了几类非局部边值问题以及周期边值问题的可解性结果；5、建立了几类二阶线性差分方程不定权特征值问题的谱结构定理。