广义估计方程(GEE)框架下的回归诊断：基于均值和协方差结构同时拟合的研究

Statistcial modeling and diagnostics for non-normal data such as longitudinal data are on the frontier of modern statistical research. In this project, by using generalized estimating equation (GEE) method, we will investigate both the statisctical modeling and diagnostics for non-normal data. The research mainly contains: (1) the method of joint modeling mean and covariance structures for longitudinal data within the framework of GEE; (2) the statistical diagnostics for regression coefficients and covariance parameters within the framework of GEE; (3) the statistical diagnostics for regression coefficients and covariance parameters based on joint modeling mean and covariance structures within the framework of GEE; (4) applications on the basis of theoretical analysis. The method proposed is joint modeling mean and covariance structures rather than setting the work matrix for regression estimation in GEE, which can avoid misleading the regression diagnostics and ensure the efficiency of statistcial diagnostics.

非正态相关数据（比如纵向数据）的统计建模和诊断分析是现代统计学研究的前沿课题，本项目拟在广义估计方程（GEE）框架下研究纵向数据的统计建模和回归诊断问题，具体内容包括：（1）GEE框架下纵向数据的均值与协方差结构联合建模方法；（2）GEE框架下回归参数和协方差结构参数的统计诊断；（3）GEE框架下均值与协方差结构联合建模基础上，回归参数和协方差结构参数的统计诊断；（4）在理论分析的基础上进行应用研究。本项目方法的优势在于拟合协方差矩阵，而不是设定工作协方差矩阵，这样可以避免工作协方差矩阵设定偏误带来的不良后果，从而提高了回归诊断的准确性。

本项目研究内容主要有四个：①连续型纵向数据均值与协方差结构联合建模问题；②离散型纵向数据均值与协方差结构联合建模问题；③在①的基础上讨论连续型纵向数据全参数、均值参数和协方差结构参数的统计诊断问题；④在②的基础上讨论离散型纵向数据全参数、均值参数和协方差结构参数的统计诊断问题。首先，我们在Pan和MacKenzie (2006，2007)研究的基础上，采用调整的Cholesky分解方法分解纵向数据协方差矩阵，采用三个模型分别对纵向数据的均值向量和协方差结构（即组内协方差矩阵和组间协方差矩阵）同时建模，即构建纵向数据均值与协方差结构联合模型来拟合纵向数据的均值与协方差结构；这种联合建模方法可以避免认为设定协方差结构的不合理性，提高模型拟合的效率。其次，在对均值向量和协方差结构联合建模的基础上，我们讨论了全参数θ、均值参数β、组内协方差结构参数(α,δ)和组间协方差结构参数(γ,λ)的统计诊断问题，获得了诊断统计量—广义Cook统计量，这个诊断统计量有很好的解析表达式和清楚的统计意义：即全参数θ的广义Cook统计量可以正交地分解为三个Cook统计量分别对应均值参数β、组内协方差结构参数(α,δ)和组间协方差结构参数(γ,λ)；这种分解对于讨论全参数的影响点和部分参数的影响点之间的联系提供了方便。