基本交换李代数的簇

Elementary abelian p-groups have played a promonent role in modular representation theory. The idea of detecting important properties by restriction to such groups has been generalized to the restricted Lie algebras. Our aim is to study the varieties of elementary abelian Lie algebras and investigate their geometric properties. Moreover, we estabilish the relation between these geometric properties and modular representation theory of Lie algebras. More precisely, let g be a restricted Lie algebra over an algebraically closed filed of characteristic p. We study the projective variety E(2, g) of two-dimensional elementary abelian subalgebras. For certain Lie algebras, we will give the condition that when E(2,g) is irreducible and describe its irreducible components. We will classify the Lie algebras with one-dimensional sandwich elements. On the other hand, we will give applications concerning categories of g-modules of constant j-rank and certain geometric invariants, called degrees of modules. Also, we study the commuting varieties of Lie algebras affording self-centralizing tori.

基本交换p群在群的模表示理论中扮演着重要的角色。把一些重要的性质限制到子群上去考虑，这一思想可以推广到限制李代数的情形。我们旨在研究基本交换李代数构成的簇并探索它们的几何性质。进一步，我们建立这些几何性质与李代数模表示理论之间的联系。设g是定义在特征为p的代数闭域上的限制李代数。研究由两维基本交换子代数构成的射影簇E(2,g)。对于一些特定的李代数，给出不可约性条件并且描述它的不可约分支。分类具有一维Sandwich元素的李代数。另一方面，对于几何不变量模的度与常j-秩模范畴的联系给出应用。进一步，研究具有自中心环面子代数的李代数的交换簇。

本项目是对一般限制李代数中由基本交换李子代数所构成的射影簇的研究。同时，本项目也研究非典型限制李代数的半单轨道，以及有限W代数的中心。对于基本交换李代数的簇，本项目研究了基本交换李代数构成的簇的几何性质并建立与模表示理论之间的关联。证明了由两维基本交换李子代数构成的簇E(2,g)是一个连通射影簇，这推广了Carlson的经典结果。并进一步与模度函数建立关联，得到模度函数的常值性，并应用这些结果，研究了等象模确定的子范畴。对于非典型限制李代数，本项目完全刻画了Cartan型李代数W, S,H的半单轨道，并利用p-极小多项式，给出了半单元素共轭的等价条件。在有限W-代数方面，本项目给出了典型李代数sl_2的约化包络代数的中心以及相应的约化W-代数的多项式实现。